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\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 10: 积分及其性质}{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}

在这一节中, 主要任务是利用前面课程介绍的测度和可测函数来建立积分. 在数学分析中, 一般是先建立有限区间上有界函数的 Riemann积分, 然后再讨论无界区间或无界函数的广义 Riemann积分. 现在, 新积分建立的顺序也是如此: 
\begin{enumerate}
	\item 在测度有限的集上有界可测函数的积分;
	\item 在测度$\sigma$-有限的集上可测函数的积分. 
\end{enumerate}

此外, 因为讨论的是积分, 所以本节中的``函数'', 如无特别申明, 总是指有有限函数. 

\section{在测度有限的集上有界可测函数的积分}

我们先按照之前介绍测度开始时所说的那种做法给出新积分的定义. 

\begin{definition}
设$(X, \mathbf{R}, \mu)$是测度空间, $E$是一个可测集, $\mu(E) < \infty$, $f$是定义在$E$上的可测函数, 又设$f$是有界的, 就是说存在实数$l$及$u$使得$f(E) \subseteq (l,u)$.  在$[l,u]$中任取一分点组$D$: $l = l_0 < l_1 < \cdots < l_n = u$. 记
\[
\delta(D) = \max\limits_k (l_k - l_{k-1}), \quad E_k = E(l_{k-1} \leqslant f < l_k)
\]
并任取$l_{k-1} \leqslant \xi_k \leqslant l_k$作和式
\[
S(D) = \sum\limits_{k=1}^n \xi_k \mu(E_k)
\]
称它为$f$在分点组$D$下的一个``和数''. 如果存在数$s$, 它满足如下条件: 对任何$\varepsilon > 0$, 总有$\delta > 0$, 使得对任何分点组$D$, 当$\delta(D) < \delta$时, 
\begin{equation}
	|S(D) - s| < \varepsilon \label{3.3.1}
\end{equation}
那么就说
\begin{equation}
	s = \lim\limits_{\delta(D) \to 0} S(D) \label{3.3.1'}
\end{equation}
这时就称$f$在$E$上关于测度$\mu$是\textbf{可积 (分)} 的, 并称$s$是$f$在$E$上关于$\mu$的\textbf{积分}\footnote{这里函数$f$的可积性和积分的定义从表面上来看与满足条件$f\subseteq (l,u)$的数$l$和$u$的选取有关吗但是不难证明实际上他们与$l$和$u$的选取无关.}, 记做
\[
s = \int_E f \mathrm{d}\mu
\]
特别, 当测度空间$(X, \mathbf{R}, \mu)$是Lebesgue测度空间$(\mathbb E^1, \mathbf{L}, m)$ (或Lebesgue-Stieltjes测度空间$(\mathbb E^1, \mathbf{L}^g, g)$) , $f$关于$m$ (或$g$) 可积时, 称$f$是Lebesgue可积 (或 (关于$g$) Lebesgue-Stieltjes可积) 函数, 又称$s$是$f$在$E$上的Lebesgue积分 (或 (关于$g$的) Lebesgue-Stieltjes积分) , 记做
\[
(L) \int_E f \mathrm{d}x \left( \text{或} \int_E f \mathrm{d}g \right)
\]
通常就简写为$\int_E f \mathrm{d}x$. 当$E = [a,b]$时, Lebesgue积分又写成$\int_a^b f \mathrm{d}x$. 如果讨论中还要用到 Riemann积分, 我们便把 Riemann积分写为$(R) \int_a^b f \mathrm{d}x$. 对于分点组$D$, 我们称
\[
\overline{S}(D) = \sum\limits_{k=1}^n l_k \mu(E(l_{k-1} \leqslant f < l_k))
\]
\[
\underline{S}(D) = \sum\limits_{k=1}^n l_{k-1} \mu(E(l_{k-1} \leqslant f < l_k))
\]
分别为函数$f$在分点组$D$下的``大和数''与``小和数''. 
\end{definition}

先举几个可积函数的例子. 

\begin{example}\label{eg1}
设$(X, \mathbf{R}, \mu)$是测度空间. $E$是$\mu$-零集, 那么$E$上任何有界可测函数$f$是可积的, 而且积分是零. 

 (当$(X, \mathbf{R}, \mu)$是完全测度空间时, 那么$\mu$-零集$E$上的任何有界函数都是可测的, 所以$f$是可积的, 而且积分是零) 

事实上, 这时一切$\mu(E_k) = 0$, 所以一切``和数''$S(D) = 0$, 因此$f$是可积的而且
\[
\int_E f \mathrm{d}\mu = 0
\]
\end{example}

\begin{example}\label{eg2}
设$X = [0, 1]$, $\mathbf{R}$是$X$的一切子集所成的$\sigma$-代数, $\mathbf{R}$上测度$\mu$定义如下: 
\[
\mu(E_1) =
\begin{cases}
1, & 0 \in E_1, \\
0, & 0 \notin E_1,
\end{cases}
\quad E_1 \in \mathbf{R}
\]
在测度空间$(X, \mathbf{R}, \mu)$上, 显然, 任何定义在$E = X$上的有界函数$f$都是可积的, 而且
\[
\int_E f \mathrm{d}\mu = f(0)
\]
事实上, 设$f(E) \subseteq (l, u)$对$[l, u]$上的任何分点组$D$, 必有唯一的$k$:
\[
l_{k-1} \leqslant f(0) < l_k
\]
当$i \neq k$时, $\mu(E_i) = 0$, 因此$S(D) = \xi_k, l_{k-1} \leqslant \xi_k \leqslant l_k$, 即
\[
\lim\limits_{\delta (D) \to 0} S(D) = f(0)
\]
\end{example}

\begin{example}\label{eg3}
在Lebesgue测度空间$(\mathbb E^1, \mathbf{L}, m)$中, 我们考察$[0, 1]$上的Dirichlet函数$D(x)$的积分. 对于分点组$D$, 当$l_{k-1} \leqslant 0 < l_k$ 时, $m(E_k) = 1$. 但这时$l_{k-1} \leqslant \xi_k < l_k$, $|\xi_k| \leqslant \delta (D)$. 而对别的$E_k$都有$m(E_k) = 0$. 所以$S(D) = \xi_k, |\xi_k| \leqslant \delta (D)$. 因此$D(x)$是Lebesgue可积的而且
\[
\int_0^1 D(x) \mathrm{d}x = 0
\]
$D(x)$在 Riemann积分意义下是不可积的, 而按Lebesgue积分意义是可积的. 这说明这两种积分的可积函数类是有区别的. 
\end{example}

对于我们这一节所引入的积分, 究竟那些函数是可积的呢？下面的定理回答了这个问题. 这是新积分理论很基本的结果. 

\begin{theorem}\label{thm3.3.1}
设$(X, \mathbf{R}, \mu)$是测度空间, $E \in \mathbf{R}$, 且$\mu(E) < \infty$, 那么$E$上一切有界可测函数$f$ (关于测度$\mu$) 必是可积的. 
\end{theorem}

\begin{proof}
按照函数可积的定义, 便要证明存在一个数$s$, 使得对任何分点组$D$, \eqref{3.3.1'}成立. 

作所有分点组``小和''的上确界$\underline{S} = \sup\limits_D \underline{S}(D)$, ``大和''的下确界$\overline{S} = \inf\limits_D \overline{S}(D)$. 

第一步, 先证$\underline{S} \leqslant \overline{S}$. 事实上, 如果$D^{\prime}, D^{\prime\prime}$是两个分点组, 将$D^{\prime}, D^{\prime\prime}$的分点合并起来构成一个新分点组$\overline D$, $\overline D$可以看成在$D^{\prime}$或$D^{\prime\prime}$中又增加了一些分点, 例如当$D^{\prime}$中的相邻分点是$l_{i-1}, l_i$时, 相应的$\underline{S}(D^{\prime})$中的项是$l_{i-1} \mu (E(l_{i-1} \leqslant f < l_i))$, 如果把它们看成$\overline D$的分点时, 它们就不一定再相邻了, 假设其中增加了某些分点$\bar l_j, \dots, \bar l_{k-1}$: 
\[
l_{i-1} = \bar l_{j-1} <\bar l_j < \cdots <\bar l_k = l_i
\]
那么相应的$\underline{S}(\overline D)$中的项是
\[
\sum\limits_{p=j}^{k}\bar l_{p-1}\mu(E(\bar l_{p-1} \leqslant f <\bar l_p)) \geqslant l_{i-1} \sum\limits_{p=j}^{k} \mu(E(\bar l_{p-1} \leqslant f <\bar  l_p)) = l_{i-1} \mu(E(l_{i-1} \leqslant f < l_i))
\]
所以
\[
\underline{S}(D^{\prime}) \leqslant \underline{S}(\overline D)
\]
类似地有$\overline{S}(\overline D) \leqslant \overline{S}(D^{\prime})$, 即在一个分点组中如果增加了分点, 那么``小和''不减, ``大和''不增. 从而, 对任何两个分点组$D^{\prime}, D^{\prime\prime}$都有
\[
\underline{S}(D^{\prime}) \leqslant \underline{S}(\overline D) \leqslant \overline{S}(\overline D) \leqslant \overline{S}(D^{\prime\prime})
\]
即
\[
\underline{S}(D^{\prime}) \leqslant \overline{S}(D^{\prime\prime})
\]
因此数集$\{\underline{S}(D)\}$中一切数不超过数集$\{\overline{S}(D)\}$中任何一个数. 这就得到
\[
\underline{S} \leqslant \overline{S}
\]

第二步, 证明$\underline{S} = \overline{S}$. 事实上, 设$D$为任一分点组, 由于
\begin{equation}
	\underline{S}(D) \leqslant \underline{S} \leqslant \overline{S} \leqslant \overline{S}(D) \label{3.3.2}
\end{equation}
所以
\begin{equation}
	0 \leqslant \overline{S} - \underline{S} \leqslant \overline{S}(D) - \underline{S}(D) = \sum\limits_{k=1}^{n}(l_k - l_{k-1})\mu(E_k) \leqslant \delta(D)\mu(E) \label{3.3.3}
\end{equation}
特别, 如果取一列分点组$\{D_n\}, \delta(D_n) \to 0$, 那么, 由 \eqref{3.3.3} 便得到
\[
\underline{S} = \overline{S}.
\]

第三步, 取$s = \underline{S} = \overline{S}$, 现在来证明$s$满足\eqref{3.3.1}: 对任何$\varepsilon > 0$, 取$\delta = \frac{\varepsilon}{\mu(E) + 1}$. 对任何分点组$D$, 当$\delta(D) < \delta$时, 根据\eqref{3.3.2}、\eqref{3.3.3}式, 并注意到$s = \underline{S} = \overline{S}, \underline{S}(D) \leqslant s \leqslant \overline{S}(D)$, 我们就得到
\begin{align*}
	s - {S}(D) &\leqslant \overline{S}(D) - \underline{S}(D) \leqslant \delta(D)\mu(E) < \varepsilon\\
{S}(D) - s &\leqslant \overline{S}(D) - \underline{S}(D) \leqslant \delta(D)\mu(E) < \varepsilon
\end{align*}
\end{proof}

下面介绍积分的性质. 

\begin{lemma}\label{lemma1}
设$(X, \mathbf{R}, \mu)$是测度空间, $E \in \mathbf{R}$, 并且$\mu(E) < \infty$, $f$是$E$上有界可测函数, 且$l \leqslant f \leqslant u$, 那么
\begin{equation}
	l \mu(E) \leqslant \int_E f \mathrm{d}\mu \leqslant u \mu(E) \label{3.3.4}
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
任取正数$\varepsilon$, 那么$f(E) \subseteq (l - \varepsilon, u + \varepsilon)$, 任取一分点组$l - \varepsilon = l_0 < l_1 < \cdots < l_n = u + \varepsilon$, 那么
\[
(l - \varepsilon) \mu(E) \leqslant S(D) = \sum\limits_{k=1}^n \xi_k \mu(E_k) \leqslant (u + \varepsilon) \mu(E)
\]
先令$\delta(D) \to 0$, 再令$\varepsilon \to 0$, 就得到 \eqref{3.3.4}. 
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm3.3.2}
设$(X, \mathbf{R}, \mu)$是测度空间, $E \in \mathbf{R}$, 并且$\mu(E) < \infty$, $f$是$E$上有界可测函数. 如果$E$分解成有限个互不相交的可测集$\{E_i\}$的和: 
\[
E = \bigcup\limits_{i=1}^m E_i,
\]
那么
\begin{equation}
	\int_E f \mathrm{d}\mu = \sum\limits_{i=1}^m \int_{E_i} f \mathrm{d}\mu \label{3.3.5}
\end{equation}
这个定理称为积分的\textbf{有限可加性}定理. 
\end{theorem}

\begin{proof}
设$D$是任一分点组$l_0 < l_1 < \cdots < l_n$. 记$E_k = E(l_{k-1} \leqslant f < l_k), E_{ik} = E_i (l_{k-1} \leqslant f < l_k), i = 1, 2, \dots, m$. 显然$E_k = \bigcup\limits_{i=1}^m E_{ik}$, 而且当$i \neq i^{\prime}$时, $E_{ik} \cap E_{i^{\prime}k} = \varnothing$, 因此
\begin{equation}
	\sum\limits_{k=1}^n \xi_k \mu \left( \bigcup\limits_{i=1}^m E_{ik} \right) = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{i=1}^m \xi_k \mu(E_{ik}) = \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{k=1}^n \xi_k \mu(E_{ik}) \label{3.3.6}
\end{equation}
\eqref{3.3.6} 式左边是$f$作为$E$上的函数, 在分点组$D$下的``和数'', 而 \eqref{3.3.6} 右边的和$\sum\limits_{k=1}^n \xi_k \mu(E_{ik})$正是把$f$看做$E_i$上函数时, 在分点组$D$下的``和数''. 令$\delta(D) \to 0$, 便得到 \eqref{3.3.5}.
\end{proof}

积分的有限可加性是 Riemann积分中的有限可加性
\[
(R) \int_{a}^{b} f \mathrm{d}x = (R) \int_{a}^{c} f \mathrm{d}x + (R) \int_{c}^{b} f \mathrm{d}x
\]
的发展. 以后我们还要证明积分有可列可加性. 

\begin{example}\label{eg4}
设$f$是$[a, b]$上的函数, $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$, $f$在$[x_0, x_1], (x_{i-1}, x_i] (i=2, 3, \dots ,n)$上取常数值$\alpha_i$, 那么$f$在$[a, b]$上是Lebesgue可积的, 而且
\begin{equation}
	(L) \int_{a}^{b} f \mathrm{d}x = \sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_i (x_i - x_{i-1}) = (R) \int_{a}^{b} f \mathrm{d}x \label{3.3.7}
\end{equation}
事实上, 由Lebesgue积分的定义, $f$在$[x_0, x_1]$, 及$(x_{i-1}, x_i]$上是Lebesgue可积的, 而且
\[
(L) \int_{(x_{i-1}, x_i]} f \mathrm{d}x = \alpha_i (x_i - x_{i-1}) = (R) \int_{x_{i-1}}^{x_i} f \mathrm{d}x
\]
在$[x_0, x_1]$上的积分也可得类似的等式. 再由定理2所述的积分的有限可加性就得到 \eqref{3.3.7}. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg5}
在Lebesgue-Stieltjes测度空间$(\mathbb E^1, \mathbf{L}^g, g)$上, 取$f$仍如例 \ref{eg4} 中函数. 那么$f$在$[a, b]$上关于$g$是可积的, 而且
\begin{equation}
	\int_{E} f \mathrm{d}g = \sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_i (g(x_i) - g(x_{i-1})) + \alpha_1 (g(x_0 + 0) - g(x_0)) \label{3.3.8}
\end{equation}
其中$E = [a, b]$, 而$\int_{[a, b]} f \mathrm{d}g$又常写成$\int_{a}^{b} f \mathrm{d}g$. 
\end{example}

利用引理 \ref{lemma1} 和定理 \ref{thm3.3.2} 就得到积分的\textbf{线性}. 

\begin{theorem}\label{thm3.3.3}
设$(X, \mathbf{R}, \mu)$是测度空间, $E \in \mathbf{R}$, 并且$f, g$是$E$上两个有界可测函数, $\mu(E) < \infty$. 那么, 
\begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
\item\label{thm3.3.3.1} 对任何两个数$\alpha, \beta$, 
\[
\int_{E} (\alpha f + \beta g) \mathrm{d}\mu = \alpha \int_{E} f \mathrm{d}\mu + \beta \int_{E} g \mathrm{d}\mu
\]
\item\label{thm3.3.3.2} 当$\alpha \geqslant 0$时 ($\alpha$的非负性假设以后可去掉) 
\[
\int_E f d(\alpha \mu) = \alpha \int_E f \mathrm{d}\mu
\]
这里$(\alpha \mu)(E) = \alpha \mu(E)(E \in \mathbf{R})$. 
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
	\item[\ref{thm3.3.3.1}] 从积分的定义,容易证明对任何常数$\alpha$,
\[
\int_E \alpha f \mathrm{d}\mu = \alpha \int_E f \mathrm{d}\mu
\]
所以定理证明的关键是在于证明当$\alpha = \beta = 1$时 \ref{thm3.3.3.1} 的结论成立. 今证明如下:

设$f(E) \subseteq (l, u), g(E) \subseteq (l^{\prime}, u^{\prime})$, 对任何正数$\delta$, 分别取$(l, u), (l^{\prime}, u^{\prime})$中分点组$$D: l = l_0 < l_1 < \cdots < l_n = u;\quad D^{\prime}: l^{\prime} = l_0^{\prime} < l_1^{\prime} < \cdots < l_m^{\prime} = u^{\prime},$$ 使得$\delta(D) < \delta, \delta(D^{\prime}) < \delta$. 作$e_{ij} = E(l_{i-1} \leqslant f < l_i, l_{j-1}^{\prime} \leqslant g < l_j^{\prime})$, 那么$E$分解为互不相交的有限个可测集的和:
\[
E = \bigcup\limits_{i,j=1}^{n,m} e_{ij}.
\]
根据引理 \ref{lemma1},
\[
\int_{e_{ij}} (f + g) \mathrm{d}\mu \leqslant (l_i + l_j^{\prime}) \mu(e_{ij}) \leqslant (2\delta + l_{i-1} + l_{j-1}^{\prime}) \mu(e_{ij}) \leqslant 2\delta \mu(e_{ij}) + \int_{e_{ij}} f \mathrm{d}\mu + \int_{e_{ij}} g \mathrm{d}\mu
\]
利用积分的有限可加性,对上述式中$i, j$求和就得到
\[
\int_E (f + g) \mathrm{d}\mu \leqslant 2\delta \mu(E) + \int_E f \mathrm{d}\mu + \int_E g \mathrm{d}\mu
\]
令$\delta \to 0$, 就得到
\begin{equation}
	\int_E (f + g) \mathrm{d}\mu \leqslant \int_E f \mathrm{d}\mu + \int_E g \mathrm{d}\mu \label{3.3.9}
\end{equation}
可以类似地证明
\begin{equation}
	\int_E (f + g) \mathrm{d}\mu \geqslant \int_E f \mathrm{d}\mu + \int_E g \mathrm{d}\mu \label{3.3.10}
\end{equation}
从\eqref{3.3.9},\eqref{3.3.10}便知在$\alpha = \beta = 1$时 \ref{thm3.3.3.1} 成立.
	\item[\ref{thm3.3.3.2}] 只要注意到$\alpha \mu$也是可测空间$(X, \mathbf{R})$上测度, 并且对一切$E \in \mathbf{R}$, $(\alpha \mu)(E) = \alpha \mu(E)$, 再从积分的定义, 易知 \ref{thm3.3.3.2} 成立.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[积分的单调性]\label{thm3.3.4}
设$(X, \mathbf{R}, \mu)$是测度空间, $E \in \mathbf{R}$, $\mu(E) < \infty$. 又设$f$和$g$是$E$上的两个有界可测函数, 而且$f \stackrel\cdot\geqslant g$, 那么
\begin{equation}
	\int_E f \mathrm{d}\mu \geqslant \int_E g \mathrm{d}\mu \label{3.3.11}
\end{equation}
特别,当$f \stackrel\cdot = g$时,
\[
\int_E f \mathrm{d}\mu = \int_E g \mathrm{d}\mu
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
记$h = f - g$, 那么$h \stackrel\cdot\geqslant 0$. 由积分的有限可加性
\begin{equation}
	\int_E h \mathrm{d}\mu = \int_{E(h \geqslant 0)} h \mathrm{d}\mu + \int_{E(h < 0)} h \mathrm{d}\mu \label{3.3.12}
\end{equation}
由于$\mu(E(h < 0)) = 0$, 根据例 \ref{eg1},\eqref{3.3.12}中右边的第二个积分为零,而第一个积分不小于零. 因此$\int_E h \mathrm{d}\mu \geqslant 0$. 由积分的线性立即得到\eqref{3.3.11}.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{coro3.3.4}
设$f$是有界可测函数, $\mu(E) < \infty$, 那么
\[
\left| \int_E f \mathrm{d}\mu \right| \leqslant \int_E \left| f \right| \mathrm{d}\mu
\]
\end{corollary}

\begin{proof}
由于$-|f| \leqslant f \leqslant |f|$, 利用\eqref{3.3.11}, 得到
\[
-\int_E \left| f \right| \mathrm{d}\mu \leqslant \int_E f \mathrm{d}\mu \leqslant \int_E \left| f \right| \mathrm{d}\mu
\]
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm3.3.5}
设$(X, \mathbf{R}, \mu)$是测度空间, $E \in \mathbf{R}$, $\mu(E) < \infty$. 又设$f$是$E$上有界可测函数, 而且$f \stackrel\cdot\geqslant 0$. 如果$\int_E f \mathrm{d}\mu = 0$, 那么$f \stackrel\cdot = 0$. 
\end{theorem}

\begin{proof}
任取一正数$\alpha > 0$, 那么由积分的有限可加性,
\begin{equation}
	\int_E f \mathrm{d}\mu = \int_{E(f < \alpha)} f \mathrm{d}\mu + \int_{E(f \geqslant \alpha)} f \mathrm{d}\mu \label{3.3.13}
\end{equation}
但是由$f \geqslant 0$得到
\begin{equation}
	\int_{E(f \geqslant \alpha)} f \mathrm{d}\mu \geqslant 0 \label{3.3.14}
\end{equation}
又由单调性
\begin{equation}
	\int_{E(f \geqslant \alpha)} f \mathrm{d}\mu \geqslant \alpha \mu (E(f \geqslant \alpha)) \label{3.3.15}
\end{equation}
因此
\[
0 \leqslant \alpha \mu (E(f \geqslant \alpha)) \leqslant \int_{E} f \mathrm{d}\mu = 0
\]
这只可能是$\mu (E(f \geqslant \alpha)) = 0$, 因此$E(f > 0) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E \left( f \geqslant \frac{1}{n} \right)$是可列个零集的和集, 它当然是零集. 由此得到$f \stackrel\cdot = 0$.
\end{proof}

虽然我们还可以进一步介绍积分的一些重要性质, 为了避免与无界函数及无限测度情况下积分的性质在叙述上太多重复, 所以我们将有界可测函数积分就介绍到此. 

我们来讨论读者自然是很关心的问题, 就是上述积分的特别情形——Lebesgue积分, 它究竟和 Riemann积分是什么关系. 下面的定理说明Lebesgue积分是比Riemann积分更为普遍的一种积分. 

\begin{theorem}\label{thm3.3.6}
设$f$是定义在$[a, b]$上的函数, 如果它是 Riemann可积函数, 那么, 它必是Lebesgue可积的, 而且
\begin{equation}
	(L) \int_{a}^{b} f \mathrm{d}x = (R) \int_{a}^{b} f \mathrm{d}x \label{3.3.16}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
首先证明$f$是有界的: 事实上, 因为$f$ Riemann可积, 所以对$\varepsilon > 0$, 存在$\delta > 0$, 使得$[a, b]$上任一分点组$D: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$. 当$\delta(D) = \max\limits_k (x_k - x_{k-1}) < \delta$时, 
\begin{equation}
	\left| \sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i)(x_i - x_{i-1}) - (R) \int_{a}^{b} f \mathrm{d}x \right| < \varepsilon \label{3.3.17}
\end{equation}
其中$\xi_i$是在$[x_{i-1}, x_i]$中任意取的. 特别取$\varepsilon = 1$, 并取一个分点组$D$, 使$\delta(D)$小于相应于$\varepsilon=1$的$\delta$. 取定$D$后, 记$\eta=\min\limits_{k}(x_k-x_{k-1})>0$. 而对每个$i$, 取$\xi_k=x_k$, $k\neq i$. 那么, 由于\eqref{3.3.17}, 得到估计式
\[
|f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})|\leqslant 1+ \left|(R)\int_a^b f \mathrm{d}x\right| + \sum\limits_{k\neq i}|f(x_k)|(x_k-x_{k-1})
\]
所以
\[
|f(\xi_i)|\leqslant \left.\left[1+\left|(R)\int_a^b f \mathrm{d}x\right| + \sum\limits_{k=1}^n |f(x_k)|(x_k-x_{k-1})\right]\right/\eta
\]
但上述右边是与$i$无关的定数, 而$\xi_i$是$[a,b]$中任何一点, 所以$f$是有界的. 或者说: 有常数$M$, $|f|\leqslant M$. 

再证$f$是Lebesgue可积的, 并且\eqref{3.3.16}成立: 因为$f$是 Riemann可积的, 取一列分点组$(D_n)$, $D_n\subseteq D_{n+1}$, $\delta(D_n)\to 0$. 且$a=x_0^{(n)}<x_1^{(n)}<x_2^{(n)}<\cdots <x_{i_n}^{(n)}=b$, 用$m_k^{(n)},M_k^{(n)}$表示$f$在$[x_{k-1}^{(n)},x_k^{(n)}]$中的下确界、上确界. 由 Riemann积分定义, 容易看出
\begin{equation}
	\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_k m_k^{(n)}(x_k^{(n)}-x_{k-1}^{(n)})=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_k M_k^{(n)}(x_k^{(n)}-x_{k-1}^{(n)})=(R)\int_a^b f \mathrm{d}x \label{3.3.18}
\end{equation}

作两个函数列$\{\varphi_n\},\{\psi_n\}$:
\[
\varphi_n(x) = \begin{cases}
m_k^{(n)}, & x\in (x_{k-1}^{(n)},x_k^{(n)}] \\
f(a), & x=a,
\end{cases}
\quad \psi_n(x) = \begin{cases}
M_k^{(n)}, & x\in (x_{k-1}^{(n)},x_k^{(n)}] \\
f(a), & x=a.
\end{cases}
\]
由于$D_n\subseteq D_{n+1}$, 当区间缩小时, 上确界不增, 下确界不减, 所以
\[
\psi_1\geqslant \psi_2\geqslant \cdots\geqslant \psi_n\geqslant \cdots\geqslant f
\]
\[
\varphi_1\leqslant \varphi_2\leqslant \cdots\leqslant \varphi_n\leqslant \cdots\leqslant f
\]
记$\overline{f}=\lim\limits_{n\to\infty}\psi_n$, $\underline{f}=\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_n$. 显然$\overline{f},\underline{f}$是有界可测函数, $|\overline{f}|\leqslant M$, $|\underline{f}|\leqslant M$. 而且
\begin{equation}
	\underline{f} \leqslant f \leqslant \overline{f} \label{3.3.19}
\end{equation}

根据积分的单调性和例 \ref{eg4} 我们得到
\begin{align*}
	\sum\limits_{k} m_{k}^{(n)}(x_{k}^{(n)}-x_{k-1}^{(n)})=(L)\int_{a}^{b}\varphi_{n}\mathrm{d}x\leqslant(L)\int_{a}^{b}\underline{f}\mathrm{d}x\\
\leqslant(L)\int_{a}^{b}f\mathrm{d}x\leqslant(L)\int_{a}^{b}\overline{f}\mathrm{d}x\leqslant(L)\int_{a}^{b}\psi_{n}\mathrm{d}x=\sum\limits_{k}M_{k}^{(n)}(x_{k}^{(n)}-x_{k-1}^{(n)})
\end{align*}

令$n \to \infty$, 利用\eqref{3.3.18}得到
\begin{equation}
	(L)\int_{a}^{b}\underline{f}\mathrm{d}x=(L)\int_{a}^{b}\overline{f}\mathrm{d}x=(R)\int_{a}^{b}f \mathrm{d}x \label{3.3.20}
\end{equation}

由\eqref{3.3.19}, $\overline{f}-\underline{f}\geq0$, 和$(L)\int_{a}^{b}(\overline{f}-\underline{f})\mathrm{d}x=0$, 从定理 \ref{thm3.3.5} 得到$\overline{f}\stackrel\cdot =\underline{f}$. 

再由\eqref{3.3.19}得到$f\underset{m}{\stackrel\cdot =}\underline{f}\underset{m}{\stackrel\cdot =}\overline{f}$, 因为$(\mathbb E^1, \mathbf{L}, m)$是完全测度空间, 所以$f$也是可测函数. 由定理 \ref{thm3.3.4} 就得到
\[
(L)\int_{a}^{b}f\mathrm{d}x=(R)\int_{a}^{b}f\mathrm{d}x.
\]
\end{proof}

%\begin{figure}[ht]
%\centering
%\includegraphics[width=0.8\textwidth]{fig3-1.png}
%\caption{函数$f^+$与$f^-$的示意图}
%\label{fig:3.1}
%\end{figure}

\section{在测度$\sigma$-有限集上 (有限的) 可测函数的积分}

先说明两个常用的记号. 设$f$是$E$上一个实函数, 作函数$f^{+}=\max(f,0)$ , $f^{-}=\max(-f,0)$ (图 \ref{fig:10-1} ) , $f^{+}, f^{-}$是由$f$产生的两个非负函数, 分别称为$f$的正部与负部, 而$f$也可用$f^+$、$f^-$表示: $f = f^+-f^-$. 又设$N$为任何一个非负实数. 我们用$[f]_N(x)$来表示函数$\max(\min(f(x), N), -N)$, 即$[f]_N(x)$是由$f(x)$和$N$决定的一个函数, 在使$|f(x)| \leqslant N$的点$x$上, 它的函数值就是$f(x)$; 而在$f(x) > N$, 或$f(x) < -N$的点$x$上, 它的函数值分别是$N$或$-N$. $[f]_N$是用$N$把$f$截断出来的新函数. 特别, 当$f \geqslant 0$时, $[f]_N = \min(f, N)$.

\begin{figure}[hbt]
\centering
  \includegraphics{fig/Lec10_fig1}
  \caption{$f^+$, $f^-$示意图}
  \label{fig:10-1}
\end{figure}

设$E$是一个$\mu$测度的$\sigma$-有限集, 如果$E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq \cdots$是$E$的一列可测子集, 而且$\mu(E_n) < \infty$, $E = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n$. 那么称$\{E_n\}$是$E$的一列\textbf{测度有限单调覆盖}.

\begin{definition}
设$(X, \mathbf{R}, \mu)$是测度空间, $E \in \mathbf{R}$, 并且$E$是$\sigma$-有限的. 又设$f$是$E$上非负的可测函数, $\{E_n\}$是$E$的一列测度有限单调覆盖. 如果极限
\begin{equation}
	\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n} [f]_{n} \mathrm{d}\mu < \infty \label{3.3.21}
\end{equation}
我们就称$f$是关于$\mu$\textbf{可积}的, 这个极限值就规定为$f$的\textbf{积分}, 记为
\[
\int_E f \mathrm{d}\mu
\]
\end{definition}

我们要说明这样定义的积分是确定的. 换句话说, 函数$f$在$E$上的可积性以及积分的值与测度有限单调覆盖列$\{E_n\}$的选取无关. 

首先我们注意, 当$f$是$E$上的非负可测函数, $\{E_n\}$是$E$的一列测度有限单调覆盖时, 由有界函数积分的单调性和有限可加性, 容易看出$\left\{ \int_{E_n} [f]_n \mathrm{d}\mu \right\}$ 是单调增加数列, 因此$\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n} [f]_n \mathrm{d}\mu$存在, 但有可能是$\infty$. 

下面我们证明更一般的结果. 

\begin{lemma}\label{lemma2}
设$(X, \mathbf{R}, \mu)$是测度空间, $E \in \mathbf{R}$, 并且$E$是$\sigma-$有限的. 又设$f$是$E$上可测函数, 并且$f \geqslant 0$. $\{E_n^{(j)}\},(j = 1, 2)$, 是$E$的两列测度有限单调覆盖, $M_n^{(j)}$ ($j = 1, 2$)是两列趋向$+\infty$的单调增加正数列, 如果
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n^{(1)}} [f]_{M_n^{(1)}} \mathrm{d}\mu < \infty
\]
那么必然有
\begin{equation}
	\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n^{(2)}} [f]_{M_n^{(2)}} \mathrm{d}\mu = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n^{(1)}} [f]_{M_n^{(1)}} \mathrm{d}\mu \label{3.3.22}
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
记$s = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n^{(1)}} [f]_{M_n^{(1)}} \mathrm{d}\mu$, 由于$\left\{ \int_{E_n^{(1)}} [f]_{M_n^{(1)}} \mathrm{d}\mu \right\}$是单调增加数列, 所以对一切自然数$n$,
\[
\int_{E_n^{(1)}} [f]_{M_n^{(1)}} \mathrm{d}\mu \leqslant s
\]
今证\eqref{3.3.22}. 设$A$是$E$的任一测度有限的可测子集, $M$是任取的正数. 当$M_n^{(1)} > M$时, 有下式
\begin{equation}\label{3.3.23}
	\begin{split}
		\int_A [f]_{M} \mathrm{d}\mu &= \int_{A \cap E_n^{(1)}} [f]_{M} \mathrm{d}\mu + \int_{A - E_n^{(1)}} [f]_{M} \mathrm{d}\mu \\
		&\leqslant \int_{E_n^{(1)}} [f]_{M_n^{(1)}} \mathrm{d}\mu + M \mu (A - E_n^{(1)})\leqslant s + M \mu (A - E_n^{(1)})
	\end{split}
\end{equation}
由于$\{A - E_n^{(1)}\}$是单调下降序列, 并且
\[
\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} (A - E_n^{(1)}) = A - \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n^{(1)} = A - E = \varnothing, 
\]
又有$\mu(A) < \infty$, 所以根据Lecture 5 定理 6 的 6 得到
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \mu (A - E_n^{(1)}) = 0. 
\]
特别再取$A = E_k^{(2)}$, $M = M_k^{(2)}$, 就得到
\[
\int_{E_k^{(2)}} [f]_{M_k^{(2)}} \mathrm{d}\mu \leqslant \lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n^{(1)}} [f]_{M_n^{(1)}} \mathrm{d}\mu
\]
对一切$k$成立. 再令$k \to \infty$, 就有
\[
\lim\limits_{k \to \infty} \int_{E_k^{(2)}} [f]_{M_k^{(2)}} \mathrm{d}\mu \leqslant \lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n^{(1)}} [f]_{M_n^{(1)}} \mathrm{d}\mu
\]
对调$\{E^{(2)}_{k}, M^{(2)}_{k}\}$和$\{E^{(1)}_{n}, M^{(1)}_{n}\}$的地位, 立即得到\eqref{3.3.22}.
\end{proof}

特别取$M^{(1)}_{n}=n, M^{(2)}_{k}=k$时, \eqref{3.3.22}就表示\eqref{3.3.21}引入积分的定义是确当的. 如果$M^{(1)}_{n}=n, M^{(2)}_{k}$仍为一般单调趋向$\infty$数列时, 引理说明积分也可以定义为
\begin{equation}
	\int_{E} f \mathrm{d}\mu = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n} [f]_{M_n} \mathrm{d}\mu \label{3.3.24}
\end{equation}
这里$\{E_n\}$是$E$的测度有限单调覆盖, $\{M_n\}$是趋向$\infty$的单调正数列. 

当$f$是有界的函数, $\mu(E)<\infty$时, 显然, 现在的定义和前面定义是一致的. 

现在举一些非负可积函数的例子. 

\begin{example}\label{eg6}
考察$(0,\infty)$上的函数
\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}, & x \in (0,1] \\
\frac{1}{x^2}, & x \in (1,\infty)
\end{cases}
\]
关于Lebesgue测度的积分. 

显然, 对任何自然数$N$,
\[
[f]_{N}(x) =
\begin{cases}
N, & x \in (0, \frac{1}{N^2}] \\
\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}, & x \in (\frac{1}{N^2},1] \\
\frac{1}{x^2}, & x \in [1,\infty)
\end{cases}
\]

对$E=(0,\infty)$, 取$E_n=(0,n), n=1,2,3,\dots$作为$E$的测度有限的单调覆盖似乎最为自然. 但考虑到积分$\int_{E_N} [f]_{N} \mathrm{d}x$的计算, 我们改取$E_n=\left[\frac{1}{n^2},n\right]$作为$E$的测度有限的单调覆盖将更为方便. 由于$[f]_{N}$在$\left[ \frac{1}{N^{2}}, N \right]$上是 Riemann可积的, 所以
\[
\int_{E_{N}} [f]_{N} \mathrm{d}x = (R) \int_{\frac{1}{N^2}}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \mathrm{d}x + (R) \int_{1}^{N} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{d}x
= 2x^{\frac{1}{2}} \bigg|_{\frac{1}{N^2}}^{1} - \frac{1}{x} \bigg|_{1}^{N} = 2 - \frac{2}{N} - \left( -\frac{1}{N} + 1 \right) = 3 - \frac{3}{N}
\]
所以$(L) \int_{0}^{\infty} f \mathrm{d}x = 3$. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg7}
设$E = X = \{ n | n = 1, 2, \dots \} \cup \left\{ \frac{1}{m} | m = 2, 3, \dots \right\}$, $\mathbf{R}$是$X$的一切子集全体, 在$\mathbf{R}$上定义测度$\mu$如下: 对任何自然数$n$, 单元素集的集$\{n\}$和$\left\{ \frac{1}{n} \right\}$的测度分别为$$\mu(\{n\}) = \frac{1}{n+1},\quad \mu\left( \left\{ \frac{1}{n} \right\} \right) = \frac{1}{n^{2}(n+1)}.$$

对于$E$的别的子集, 利用$\mu$的可列可加性来定义它的测度的值. 易知$(X, \mathbf{R}, \mu)$是全$\sigma$-有限的测度空间. 我们考察$E$上如下的函数$f$: 对任何自然数$n, m$, 
\[
\begin{cases}
f(n) = \frac{1}{n}, & n = 1, 2, 3,\dots \\
f\left( \frac{1}{m} \right) = m, & m = 2, 3, 4,\dots
\end{cases}
\]
当取$E_{n} = \left[ \frac{1}{n}, \frac{1}{n-1}, \dots, \frac{1}{2}, 1, 2, \dots, n \right], (n = 1, 2, \dots)$作为$E$的测度有限单调覆盖时, 计算积分$\int_{E_N} [f]_{N} \mathrm{d}\mu$最方便, 这时
\begin{align*}
	\int_{E_N} [f]_{N} \mathrm{d}\mu &= \sum\limits_{n=1}^{N} f(n) \mu (\{ n \}) + \sum\limits_{m=2}^{N} f \left( \frac{1}{m} \right) \mu \left( \left\{ \frac{1}{m} \right\} \right)\\
&= \sum\limits_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \frac{1}{n+1} + \sum\limits_{m=2}^{N} m \frac{1}{m^2 (m+1)} = \frac{3}{2} - \frac{2}{N+1}
\end{align*}
所以$\int_{E} f \mathrm{d}\mu = \frac{3}{2}$. 
\end{example}

在数学分析中, 有奇点的函数的广义积分和无穷区间上的广义积分是分别定义的. 对一般测度的积分虽然也可以分成两种情况分别定义和讨论, 但为了减少过多重复, 我们才采取了把两种情况统一起来的形式加以讨论. 不过上面只是对非负函数给了积分定义. 我们还要介绍一般函数 (函数值有正、有负) 的积分概念. 

\begin{definition}
设$(X, \mathbf{R}, \mu)$是测度空间, $E \in \mathbf{R}$, $E$是$\sigma$-有限的. 又设$f$是$E$上可测函数. 如果$f$的正部$f^+$、负部$f^-$都是关于$\mu$可积的, 我们就称$f$关于$\mu$是\textbf{可积}的, 并规定$\int_{E} f^+ \mathrm{d}\mu - \int_{E} f^- \mathrm{d}\mu$是$f$在$E$上的\textbf{积分}, 记它为$\int_{E} f \mathrm{d}\mu$. 
\end{definition}

下面我们介绍积分的一些重要性质, 先证明一个引理. 

\begin{lemma}\label{lemma3}
设$E$是测度空间$(X, \mathbf{R}, \mu)$上的$\sigma$-有限集, 如果$f$是$E$上的可积函数, $h$是$E$上可测函数, 而且$|h| \leqslant f$, 那么$h$也是可积的. 
\end{lemma}

\begin{proof}
由于$|h| \leqslant f$, 所以有$h^+ \leqslant f$, $h^- \leqslant f$. 现在证$h^+$是可积的; 设$\{E_n\}$是测度有限单调覆盖, 对任何自然数$n$, 显然有
\[
\int_{E_n} [h^+]_{n} \mathrm{d}\mu \leqslant \int_{E_n} [f]_{n} \mathrm{d}\mu \leqslant \int_{E} f \mathrm{d}\mu
\]
所以单调增加数列 \(\left\{ \int_{E_n} [h^+]_n \mathrm{d}\mu \right\}\) 的极限是有限的, 因此 \(h^+\) 是可积的. 同理 \(h^-\) 也是可积的.
\end{proof}
引理 \ref{lemma3} 常常被用来证明可测函数的可积性. 

\begin{theorem}[有限可加性]\label{thm3.3.7}
设 \(E\) 是测度空间 \((X, \mathbf{R}, \mu)\) 上的 \(\sigma\)-有限的, \(f\) 是 \(E\) 上可测函数, 如果 \(E = E_1 \cup E_2\), \(E_1 \cap E_2 = \varnothing\), 并且 \(E_1, E_2\) 是可测的. 那么, \(f\) 在 \(E\) 上可积的充要条件是 \(f\) 在 \(E_1, E_2\) 上可积. 当 \(f\) 可积时,
\begin{equation}
	\int_E f \mathrm{d}\mu = \int_{E_1} f \mathrm{d}\mu + \int_{E_2} f \mathrm{d}\mu \label{3.3.25}
\end{equation} 
\end{theorem}

\begin{proof}
设 \(\{F_n\}\) 是 \(E\) 的测度有限单调覆盖, 那么 \(\{E_1 \cap F_n\}, \{E_2 \cap F_n\}\) 分别是 \(E_1, E_2\) 的测度有限单调覆盖. 并且 \(F_n = (E_1 \cap F_n) \cup (E_2 \cap F_n)\). 

当 \(f \geqslant 0\) 时, 利用有界函数的积分的有限可加性, 对任何 \(N\) 有
\begin{equation}
	\int_{F_N} [f]_{N} \mathrm{d}\mu = \int_{E_1 \cap F_N} [f]_{N} \mathrm{d}\mu + \int_{E_2 \cap F_N} [f]_{N} \mathrm{d}\mu \label{3.3.26}
\end{equation}
因为 \(f\) 是可积的, 以及 \([f]_{N} \geqslant 0\), 从\eqref{3.3.26}立即推出
\begin{align*}
	\lim\limits_{N \to \infty} \int_{E_1 \cap F_N} [f]_{N} \mathrm{d}\mu &\leqslant \int_E f \mathrm{d}\mu\\
\lim\limits_{N \to \infty} \int_{E_2 \cap F_N} [f]_{N} \mathrm{d}\mu &\leqslant \int_E f \mathrm{d}\mu
\end{align*}
因此 \(f\) 在 \(E_1, E_2\) 上是可积的. 在\eqref{3.3.26}中令 \(N \to \infty\), 便得到\eqref{3.3.25}. 反过来, 如果 \(f\) 在 \(E_1, E_2\) 上可积, 又从\eqref{3.3.26}推出
\[
\int_{F_N} [f]_{N} \mathrm{d}\mu \leqslant \int_{E_1} f \mathrm{d}\mu + \int_{E_2} f \mathrm{d}\mu
\]
即 \(f\) 在 \(E\) 上可积. 

当 \(f\) 是一般可测函数时, 如果 \(f\) 在 \(E\) 上可积, 那么 \(f^+, f^-\) 在 \(E\) 上可积, 从而 \(f^+, f^-\) 在 \(E_1, E_2\) 上可积.  (当我们把 \(E\) 上函数 \(f\) 的正部 \(f^+\)、负部 \(f^-\) 限制在 \(E_i (i=1,2)\) 上时, 它们也分别是 \(f\) 作为集 \(E_i\) 上函数时的正部、负部. ) 所以 \(f = f^+ - f^-\) 在 \(E_1, E_2\) 上也可积, 而且
\begin{align*}
	\int_E f \mathrm{d}\mu &= \int_E f^+ \mathrm{d}\mu - \int_E f^- \mathrm{d}\mu \\
	&= \left( \int_{E_1} f^+ \mathrm{d}\mu + \int_{E_2} f^+ \mathrm{d}\mu \right) - \left( \int_{E_1} f^- \mathrm{d}\mu + \int_{E_2} f^- \mathrm{d}\mu \right) = \int_{E_1} f \mathrm{d}\mu + \int_{E_2} f \mathrm{d}\mu
\end{align*}
反过来, 假如 \(f\) 在 \(E_1\) 与 \(E_2\) 上可积, 那么 \(f^+, f^-\) 在 \(E_1\) 与 \(E_2\) 上就可积, 从而 \(f^+, f^-\) 在 \(E\) 上可积, 并且 \(f\) 在 \(E\) 上也可积.
\end{proof}

定理 \ref{thm3.3.7} 显然可以推广到当集 \(E\) 分解成有限个互不相交的可测集时的情况. 所以定理 \ref{thm3.3.7} 又称为积分的有限可加性. 稍后, 我们要证明积分具有可列可加性. 

为了证明积分具有线性, 先证一个引理. 

\begin{lemma}\label{lemma4}
设 \(f, g\) 是集 \(E\) 上两个非负实函数, 那么, 对任何自然数 \(N\),
\begin{equation}
	[f + g]_N \leqslant [f]_N + [g]_N \leqslant [f + g]_{2N} \label{3.3.27}
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
先证左端不等式: 设 \(x_0 \in E\). 如果 \(f(x_0) < N, g(x_0) < N\), 显然, 
\[
[f(x_0) + g(x_0)]_N \leqslant f(x_0) + g(x_0) = [f(x_0)]_N + [g(x_0)]_N
\]
如果 \(f(x_0), g(x_0)\) 中至少有一个不小于 \(N\), 例如 \(f(x_0) \geqslant N\), 那么
\[
[f(x_0) + g(x_0)]_N = N \leqslant N + [g(x_0)]_N \leqslant [f(x_0)]_N + [g(x_0)]_N
\]

再证右端不等式: 由于 \([f]_N + [g]_N \leqslant f + g, [f]_N + [g]_N \leqslant 2N\), 所以 \[[f]_N + [g]_N \leqslant \min(f + g, 2N) = [f + g]_{2N}.\] 
\end{proof}

\begin{theorem}[线性]\label{thm3.3.8}
设 \(E\) 是测度空间 \((X, \mathbf{R}, \mu)\) 上 \(\sigma\)-有限的, \(f\) 与 \(g\) 是 \(E\) 上两个可积函数, 那么, 对任何两个常数 \(\alpha, \beta\), \(\alpha f + \beta g\) 也是可积函数, 而且
\[
\int_E (\alpha f + \beta g) \mathrm{d}\mu = \alpha \int_E f \mathrm{d}\mu + \beta \int_E g \mathrm{d}\mu
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
设 \(\alpha \geqslant 0\), 由于 \((\alpha f)^+ = \alpha f^+\), 从 \(f^+\) 可积性, 先证明 \((\alpha f)^+\) 也是可积的, 而且
\[
\int_{E}(\alpha f)^{+}\mathrm{d}\mu = \alpha \int_{E}f^{+}\mathrm{d}\mu
\]
当 \(\alpha=0\) 时, 上述结论显然成立. 对于 \(\alpha>0\), 由于 \([\alpha f]_{n}=\alpha [f]_{\frac{n}{\alpha}}\), 根据\eqref{3.3.24} (取 \(M_{n}=\frac{n}{\alpha}\)) , 便有
\[
\int_{E}(\alpha f)^{+}\mathrm{d}\mu = \lim\limits_{n \to \infty}\int_{E_{n}}[(\alpha f)^{+}]_{n}\mathrm{d}\mu = \alpha \lim\limits_{n \to \infty}\int_{E_{n}}[f^{+}]_{\frac n\alpha}\mathrm{d}\mu = \alpha \int_{E}f^{+}\mathrm{d}\mu
\]
对 \((\alpha f)^{-}\) 也类似地讨论. 因此, \(\alpha f\) 可积, 且
\[
\int_{E}(\alpha f)\mathrm{d}\mu = \alpha \int_{E}f\mathrm{d}\mu
\]
当 \(\alpha<0\) 时, 也可类似讨论. 

所以只要就 \(\alpha=\beta=1\) 的情况来证明定理成立便可以了. 

如果 \(f\geqslant 0, g\geqslant 0\), 设 \((E_{n})\) 是 \(E\) 的测度有限单调覆盖, 根据 \eqref{3.3.27} 以及有界函数积分的单调性, 有限可加性得到
\begin{equation}
	\int_{E_{N}}[f+g]_{N}\mathrm{d}\mu \leqslant \int_{E_{N}}([f]_{N}+[g]_{N})\mathrm{d}\mu \leqslant \int_{E_{N}}[f+g]_{2N}\mathrm{d}\mu \label{3.3.28}
\end{equation}
根据有界可积函数的线性, 
\[
\int_{E_{N}}([f]_{N}+[g]_{N})\mathrm{d}\mu = \int_{E_{N}}[f]_{N}\mathrm{d}\mu + \int_{E_{N}}[g]_{N}\mathrm{d}\mu
\]
由于假设 \(f,g\) 可积, 令 \(N \to \infty\), 得到
\begin{equation}
	\lim\limits_{N \to \infty}\int_{E_{N}}([f]_{N}+[g]_{N})\mathrm{d}\mu = \int_{E}f\mathrm{d}\mu + \int_{E}g\mathrm{d}\mu < \infty \label{3.3.29}
\end{equation}
又从 \eqref{3.3.28} 的左边一个不等式 (令 \(N \to \infty\)) 知道 \(f+g\) 是可积的, 并且
\begin{equation}
	\int_{E}(f+g)\mathrm{d}\mu \leqslant \int_{E}f\mathrm{d}\mu + \int_{E}g\mathrm{d}\mu \label{3.3.30}
\end{equation}
再在 \eqref{3.3.28} 的不等式 \(\int_{E_{N}}([f]_{N}+[g]_{N})\mathrm{d}\mu \leqslant \int_{E_{N}}[f+g]_{2N}\mathrm{d}\mu\) 中, 令 \(N \to \infty\), 并用 \eqref{3.3.29} 便得到
\begin{equation}
	\int_E f \mathrm{d}\mu + \int_E g \mathrm{d}\mu \leqslant \int_E (f+g) \mathrm{d}\mu \label{3.3.31}
\end{equation}
\eqref{3.3.30}、\eqref{3.3.31}结合起来便得到当 \(f \geqslant 0, g \geqslant 0\) 时, 
\begin{equation}
	\int_E (f+g) \mathrm{d}\mu = \int_E f \mathrm{d}\mu + \int_E g \mathrm{d}\mu \label{3.3.32}
\end{equation}

当 \(f, g\) 是一般可积函数时, 由于
\[
(f+g)^+ \leqslant f^+ + g^+, \quad (f+g)^- \leqslant f^- + g^-
\]
所以由引理 \ref{lemma3}, \(f+g\) 是可积的. 又由于
\[
(f+g)^+ - (f+g)^- = f+g = (f^+ + g^+) - (f^- + g^-)
\]
从而得到
\[
(f+g)^+ + f^- + g^- = f^+ + g^+ + (f+g)^-
\]
对这个函数应用\eqref{3.3.32}, 就得到
\[
\int_E (f+g)^+ \mathrm{d}\mu + \int_E f^- \mathrm{d}\mu + \int_E g^- \mathrm{d}\mu = \int_E f^+ \mathrm{d}\mu + \int_E g^+ \mathrm{d}\mu + \int_E (f+g)^- \mathrm{d}\mu
\]
移项后就知道\eqref{3.3.32}对一般可积函数 \(f, g\) 也成立.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm3.3.9}
设 \(E\) 是测度空间 \((X, \mathbf{R}, \mu)\) 上 \(\sigma\)-有限的, \(f, g\) 是 \(E\) 上两个可测函数, 那么 \(E\) 上的积分有如下的性质: 
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
\item\label{thm3.3.9.1} 如果 \(f \stackrel\cdot = 0\), 那么 \(f\) 是可积的, 并且
\begin{equation}
	\int_E f \mathrm{d}\mu = 0 \label{3.3.33}
\end{equation}
反之, 如果 \(f\) 在 \(E\) 上满足 \(f \stackrel\cdot\geqslant 0\), 并且\eqref{3.3.33}成立, 那么 \(f \stackrel\cdot = 0\). 
\item\label{thm3.3.9.2} \textbf{单调性}: 设 \(f, g\) 是 \(E\) 上可积函数, 又如果 \(f \stackrel\cdot\geqslant g\), 那么
\begin{equation}
	\int_E f \mathrm{d}\mu \geqslant \int_E g \mathrm{d}\mu \label{3.3.34}
\end{equation}
\item\label{thm3.3.9.3} \textbf{绝对可积性}: \(f\) 在 \(E\) 上可积时, \(|f|\) 在 \(E\) 上可积, 并且
\begin{equation}
	\left| \int_E f \mathrm{d}\mu \right| \leqslant \int_E |f| \mathrm{d}\mu \label{3.3.35}
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
\item[\ref{thm3.3.9.1}] 第一部分是显然的. 第二部分的证法和定理 \ref{thm3.3.5} 的证法相同. 
\item[\ref{thm3.3.9.2}] 当 \(f \stackrel\cdot\geqslant g\) 时, \(f - g \stackrel\cdot\geqslant 0\). 设 \(E_n\) 是 \(E\) 的一个测度有限单调覆盖, 那么
\[
\int_{E_n} [f - g]_n \mathrm{d}\mu \geqslant 0.
\]
因此
\[
\int_E (f - g)\mathrm{d}\mu \geqslant 0.
\]
再由定理 \ref{thm3.3.8}, 
\[
\int_E (f - g)\mathrm{d}\mu = \int_E f\mathrm{d}\mu - \int_E g\mathrm{d}\mu
\]
立即得到\eqref{3.3.34}. 
\item[\ref{thm3.3.9.3}] 当 \(f\) 可积时, \(f^+, f^-\) 可积, 所以 \(|f| = f^+ + f^-\) 也可积. 由于 \(-|f| \leqslant f \leqslant |f|\), 根据\eqref{3.3.34}得到
\[
- \int_E |f| \mathrm{d}\mu \leqslant \int_E f\mathrm{d}\mu \leqslant \int_E |f| \mathrm{d}\mu
\]
即\eqref{3.3.35}成立.
\end{enumerate}
\end{proof}

定理 \ref{thm3.3.9} 中 \ref{thm3.3.9.3} 的绝对可积性 (即可积函数 \(f\) 的绝对值函数 \(|f|\)一定也可积) , 在广义 Riemann积分中是没有的, 举例如下. 

\begin{example}\label{eg8}
考察 \([0,1]\) 上的函数
\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}, & 0 < x \leqslant 1 \\
0, & x = 0
\end{cases}
\]
读者熟知, 它是广义 Riemann可积函数, 但是 \(|f|\) 不是广义 Riemann可积的. 
我们注意, 这个函数 \(f\) 在 \([0,1]\) 上的Lebesgue积分是不存在的; 因为如果它Lebesgue可积, 由定理 \ref{thm3.3.9} 的性质 \ref{thm3.3.9.3}, \(|f|\)应该是Lebesgue可积的, 而 \(\left| \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} \right|\) 在 \(\left[ \frac{1}{n}, 1 \right]\) 上 Riemann可积, 所以
\[
(L) \int_0^1 |f| \mathrm{d}x \geqslant (L) \int_{\frac{1}{n}}^1 |f| \mathrm{d}x = (R) \int_{\frac{1}{n}}^1 \frac{1}{x} \left| \sin \frac{1}{x} \right| \mathrm{d}x \to \infty \quad (\text{当 } n \to \infty \text{时})
\]
这说明 \(|f|\) 不是Lebesgue可积, 因而 \(f\) 也不是Lebesgue可积的. 
\end{example}

下面定理 \ref{thm3.3.10} 所说的积分性质称为积分的\textbf{全连续性} (或称做绝对连续性) : 

\begin{theorem}[全连续性]\label{thm3.3.10}
设 \(E\) 是测度空间 \((X, \mathbf{R}, \mu)\) 上 \(\sigma\)-有限的, \(f\) 是 \(E\) 上可积函数. 那么对任何 \(\varepsilon > 0\), 必存在 \(\delta > 0\), 当 \(e\) 是 \(E\) 的任何一个可测子集, 而且 \(\mu(e) < \delta\) 时, 就成立着
\begin{equation}
	\left|\int_{e} f \mathrm{d}\mu\right| < \varepsilon \label{3.3.36}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
设 \(\{E_n\}\) 是 \(E\) 的测度有限单调覆盖, 由定理\ref{thm3.3.9} 的性质 \ref{thm3.3.9.3}, \(|f|\) 是可积的. 这时必有自然数 \(N_0\), 使得
\[
\int_{E} |f| \mathrm{d}\mu - \int_{E_{N_0}} [|f|]_{N_0} \mathrm{d}\mu < \frac{\varepsilon}{2}
\]
由于
\[
\int_{E_{N_0}} [|f|]_{N_0} \mathrm{d}\mu \leqslant \int_{E} [|f|]_{N_0} \mathrm{d}\mu
\]
因此
\[
\int_{E} (|f| - [|f|]_{N_0}) \mathrm{d}\mu < \frac{\varepsilon}{2}
\]
取 \(\delta = \frac{\varepsilon}{2(N_0 + 1)}\), 由\eqref{3.3.35}得到
\begin{align*}
	\left|\int_{e} f \mathrm{d}\mu\right| &\leqslant \int_{e} |f| \mathrm{d}\mu = \int_{e} (|f| - [|f|]_{N_0}) \mathrm{d}\mu + \int_{e} [|f|]_{N_0} \mathrm{d}\mu \\
	&\leqslant \int_{E} (|f| - [|f|]_{N_0}) \mathrm{d}\mu + \frac{\varepsilon N_0}{2(N_0 + 1)} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
\end{align*}
\end{proof}

下面证明积分的可列可加性. 

\begin{theorem}[可列可加性]\label{thm3.3.11}
设 \(E\) 是测度空间 \((X, \mathbf{R}, \mu)\) 上 \(\sigma\)-有限的, \(f\) 是 \(E\) 上可测函数, 如果 \(E = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i\), 而且 \(E_i \in \mathbf{R}\), \(E_i \cap E_j = \varnothing\), \(i \neq j\). 那么, \(f\) 在 \(E\) 上可积的充要条件是
\begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
\item\label{thm3.3.11.1} \(f\) 在 \(E_i\) 上可积; 
\item\label{thm3.3.11.2} \(\sum\limits_{i=1}^{\infty} \int_{E_i} |f| \mathrm{d}\mu < \infty\). 
\end{enumerate}
当 \(f\) 可积时, 
\begin{equation}
	\int_E f \mathrm{d}\mu = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \int_{E_i} f \mathrm{d}\mu \label{3.3.37}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
必要性: 设 \(f\) 是可积的, 由于
\[
E = \left( \bigcup\limits_{i=1}^{m} E_i \right) \cup \left( E - \bigcup\limits_{i=1}^{m} E_i \right)
\]
根据积分的有限可加性, \(f\) 在 \(E_i\) 上可积 (所以条件 \ref{thm3.3.11.1} 是必要的) , 且
\begin{equation}
	\int_E f \mathrm{d}\mu = \sum\limits_{i=1}^{m} \int_{E_i} f \mathrm{d}\mu + \int_{E - \bigcup\limits_{i=1}^{m} E_i} f \mathrm{d}\mu \label{3.3.38}
\end{equation}
将\eqref{3.3.38}中 \(f\) 换成 \(|f|\) (它是可积的) , 立即得到
\begin{equation}
	\int_E |f| \mathrm{d}\mu \geqslant \sum\limits_{i=1}^{m} \int_{E_i} |f| \mathrm{d}\mu \label{3.3.39}
\end{equation}
令 \(m \to \infty\), 便得到定理的条件 \ref{thm3.3.11.2} 也是必要的. 

充分性: 设 \(\{F_n\}\) 是 \(E\) 的测度有限单调覆盖, 那么易知
\[
\left\{ F_n \cap \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i \right) \right\}
\]
也是 \(E\) 的测度有限单调覆盖, 由有界可测函数在测度有限集 \[F_n \cap \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i \right)\] 上的积分有限可加性 (定理 \ref{thm3.3.2}) 得到
\begin{equation}
	\int_{F_n \cap \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i \right)} [|f|]_{n} \mathrm{d}\mu = \sum\limits_{i=1}^{n} \int_{F_n \cap E_i} [|f|]_{n} \mathrm{d}\mu \leqslant \sum\limits_{i=1}^{\infty} \int_{E_i} |f| \mathrm{d}\mu \label{3.3.40}
\end{equation}
右边不依赖于 \(n\), 所以令 \(n \to \infty\), 便知 \(|f|\) 在 \(E\) 上可积, 从而 \(f\) 在 \(E\) 上可积. 

最后, 再证\eqref{3.3.37}成立. 当 \(f\) 可积时, 将\eqref{3.3.39}中 \(m \to \infty\), 再将\eqref{3.3.40}中 \(n \to \infty\), 便得到
\begin{equation}
	\int_{E} |f| \mathrm{d}\mu = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \int_{E_i} |f| \mathrm{d}\mu \label{3.3.41}
\end{equation}
即对 \(|f|\), \eqref{3.3.37}成立. 

由\eqref{3.3.38}、\eqref{3.3.41}和积分的有限可加性得到
\[
\left| \int_{E} f \mathrm{d}\mu - \sum\limits_{i=1}^{m} \int_{E_i} f \mathrm{d}\mu \right| = \left| \int_{E \setminus \bigcup\limits_{i=1}^{m} E_i} f \mathrm{d}\mu \right| \leqslant \int_{E - \bigcup\limits_{i=1}^{m} E_i} |f| \mathrm{d}\mu = \sum\limits_{i=m+1}^{\infty} \int_{E_i} |f| \mathrm{d}\mu
\]
从 \(\sum\limits_{i=1}^{\infty} \int_{E_i} |f| \mathrm{d}\mu < \infty\), 在上式中令 \(m \to \infty\), 便得到
\[
\int_{E} f \mathrm{d}\mu = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \int_{E_i} f \mathrm{d}\mu.
\]
\end{proof}

\section{Lebesgue-Stieltjes(Lebesgue-Stieltjes)积分}

前面建立的是一般测度空间 \((X, \mathbf{R}, \mu)\) 上积分概念. 由于一般分析数学、数学物理和概率论等常用的积分除Lebesgue积分外, 便是n维欧几里得空间上关于Lebesgue-Stieltjes测度的积分, 特别是直线上关于Lebesgue-Stieltjes测度的积分, 由于对Lebesgue-Stieltjes测度本书中很少系统叙述, 在此对其产生过程和一般测度论中没有的性质作一概述, 以便查考. 

设 \(g\) 是直线上单调增加右连续函数(又称为 \(\mathbb E^1\) 上分布), 根据Lecture 5, 由 \(g\) 可产生 \((\mathbb E^1, \mathbf{R}_0)\) 上一个测度 \(g\), 满足 \(g((a, b]) = g(b) - g(a)\). 继而在 \(\mathbf{H}(\mathbf{R}_0)\) (就是直线上一切子集全体) 上引出外测度 \(g^*\), 再把 \(\mathbf{H}(\mathbf{R}_0)\) 中满足 Carathéodory 条件
\[
g^*(F) = g^*(F \cap E) + g^*(F - E), \quad F \in \mathbf{H}(\mathbf{R}_0)
\]
的集 \(E\) 称为 \(g^*\)-可测集 (即(关于 \(g\) 的)Lebesgue-Stieltjes可测集) , \(g^*\)-可测集全体记为 \(\mathbf{L}^g\), \(g^*\) 是 \(\mathbf{L}^g\) 上完全测度, 仍记 \(g^*\) 为 \(g\), 称 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^g, g)\) 是Lebesgue-Stieltjes测度空间. 除有作为一般测度的性质外, 主要有下面性质(可对比Lecture 7 中Lebesgue测度的性质): 
\begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
\item \(\mathbf{L}^g\) 是 \(\mathbb E^1\) 上的 \(\sigma\)-代数, \(\mathbf{L}^g \supseteq \mathbf{B} (= \mathbf{S}(\mathbf{R}_0))\). 
\item \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^g, g)\) 是全 \(\sigma\)-有限的完全测度空间. 
\item 对每个 \(E \in \mathbf{L}^g\), 必有 \(A \in \mathbf{B}, B \in \mathbf{B}\), 使得
\[
A \supseteq E \supseteq B,\,\text{并且}\,g(A - E) = 0 = g(E - B)
\]
\item \(E \in \mathbf{H}(\mathbf{R}_0)\), 那么 \(E \in \mathbf{L}^g\) 的充要条件是下面三个中的一个成立: 
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
\item 对任何 \(\varepsilon > 0\), 存在开集 \(O \supseteq E\), 使得 \(g^*(O - E) < \varepsilon\). 
\item 对任何 \(\varepsilon > 0\), 存在闭集 \(F \subseteq E\), 使得 \(g^*(E - F) < \varepsilon\). 
\item 对任何 \(\varepsilon > 0\), 存在开集 \(O\), 闭集 \(F\), 使得 \(O \supseteq E \supseteq F\), 并且
\[
g(O - F) < \varepsilon
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

如果 \(E \in \mathbf{L}^g\), \(f\) 是 \(E\) 上(关于 \(g\))的可测函数, 按前面的方法建立关于 \(g\) 测度的积分, 记为
\[
\int_{E} f \mathrm{d}g
\]
称为 \(f\) 在 \(E\) 上(关于 \(g\) 的)Lebesgue-Stieltjes积分. 如果 \(E\) 是区间的情况, 通常又记为
\[
\int_{[a,b]} f \mathrm{d}g = \int_{a}^{b} f \mathrm{d}g, \quad \int_{(a,b]} f \mathrm{d}g = \int_{a^+}^{b} f \mathrm{d}g \quad (a^+ \text{又常写成 } a+ \text{或 } a+0)
\]
\[
\int_{(a,b)} f \mathrm{d}g = \int_{a^+}^{b^-} f \mathrm{d}g \quad (b^- \text{又常写成 } b- \text{或 } b-0)
\]

由于Lebesgue-Stieltjes测度是一般测度的特殊情况, 所以一般测度空间上积分性质它都具有, 这里不拟复述. 

如果 \(g_1, g_2\) 是 \(\mathbb E^1\) 上两个不同的单调增加右连续函数, 那么 \(\mathbf{L}^{g_1}\) 和 \(\mathbf{L}^{g_2}\) 是不一定相同的, 而且 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^{g_1}, g_1)\) 和 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^{g_2}, g_2)\) 上的可测函数类和可积函数类不一定相同. 下面我们再举一些例子来说明这个问题. 这些例子本身也具有典型意义. 

\begin{example}\label{eg9}
作Heaviside函数: 
\[
\theta(x) =
\begin{cases}
0, & x < 0 \\
1, & x \geqslant 0
\end{cases}
\]
显然, 这时直线上一切子集 \(E\) 都是完全测度空间 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^\theta, \theta)\) 的可测集. 因而定义在 \(\mathbb E^1\) 上任何一个有限实函数 \(f\) 都是 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^\theta, \theta)\) 上可测函数, 并且是可积函数. 其积分为
\[
\int_E f d\theta =
\begin{cases}
0, & \text{当 } 0 \notin E \\
f(0), & \text{当 } 0 \in E
\end{cases}
\]
\end{example}

\begin{example}\label{eg10}
记 \(E(x)\) 是不超过 \(x\) 的最大整数. \(E(x)\) 是 \(\mathbb E^1\) 上单调增加的右连续函数. 显然, 这时直线上一切子集 \(M\) 都是完全测度空间 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^E, E)\) 的可测子集, \(E(M)\) 等于 \(M\) 中所含整数的个数, 因而定义在 \(\mathbb E^1\) 上的任何一个有限实函数 \(f\) 都是 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^E, E)\) 上的可测函数, \(f\) 在 \(\mathbb E^1\) 上可积的充要条件是
\[
\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} |f(n)| < \infty
\]
当这个条件满足时, 
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f dE = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} f(n)
\]
事实上, 取 \(E_n = (-n, n]\), \(n = 1, 2, \dots\), 
\[
\int_{E_n} f^{\pm} dE = \sum\limits_{i=-n}^{n-1} \int_{(i,i+1]} f^{\pm} dE = \sum\limits_{i=-n}^{n-1} f^{\pm}(i+1)
\]
根据 \(f\) 在 \(\mathbb E^1\) 上可积的充要条件是 \(f^{\pm}\) 同时在 \(\mathbb E^1\) 上可积, 立即得到 \(f\) 在 \(\mathbb E^1\) 上可积的充要条件是两个正项级数 \(\sum\limits_{-\infty}^{\infty} f^{\pm}(i)\) 收敛, 也即
\[
\sum\limits_{-\infty}^{\infty} |f(i)| < \infty.
\]
当这个级数收敛时, 
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f dE = \int_{-\infty}^{\infty} f^+ dE - \int_{-\infty}^{\infty} f^- dE = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n} [f^+]_n dE - \lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n} [f^-]_n dE = \sum\limits_{-\infty}^{\infty} f(i)
\]
上面最后等式的成立是因为 \(\sum\limits_{-\infty}^{\infty} |f(i)| < \infty\), 所以对每个 \(i\), 当 \(n > |f(i)|\) 时 \([f^\pm]_n (i) = f^\pm(i)\) 的缘故. 

由此可知, 当 \(f \equiv c\) (常数) , \(c \neq 0\) 时, \(f\) 在 \(\mathbb E^1\) 上 (关于 \(E\)) 是不可积的. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg11}
设 \(g\) 是 \(\mathbb E^1\) 上一个单调增加右连续函数, 取 \([a, b]\) 的特征函数 \(\chi_{[a,b]} (x)\), 由于 \([a, b] \in \mathbf{L}^g\), 所以 \(\chi_{[a,b]}\) 是 (关于 \(g\) 的) 可测函数, 显然它关于Lebesgue-Stieltjes测度 \(g\) 是可积的, 且
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \chi_{[a,b]} \mathrm{d}g = g([a, b]) = g(b) - g(a-0)
\]
\end{example}

\begin{example}\label{eg12}
设 \(g\) 是 \(\mathbb E^1\) 上连续可导函数, 而且存在常数 \(\alpha\), 使得 \(g^{\prime}(x) \geqslant \alpha > 0\). 这时 \(g\) 是单调增加连续函数, 在 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^g, g)\) 上存在不可测的函数. 

事实上, 如果 \(E_0\) 是 \([0, 1]\) 上一个Lebesgue不可测集, 我们证明它也是 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^g, g)\) 上不可测集. 为此, 先证明如果 \(g(E) = 0\), 必有 \(m(E) = 0\). 这是因为对任何 \(\varepsilon > 0\), 一定存在开集 \(O_\varepsilon\)、\(O_\varepsilon \supseteq E\), 而 \(g(O_\varepsilon - E) < \varepsilon \alpha\). 由于 \(g(E) = 0\), 所以 \(g(O_\varepsilon) < \varepsilon \alpha\). 设 \(\{(a_\nu, b_\nu)\}\) 是 \(O_\varepsilon\) 的构成区间, 由此得到
\[
g(O_\varepsilon) = \sum\limits_{\nu} (g(b_\nu) - g(a_\nu)) < \varepsilon \alpha
\]
根据假设 \(g^{\prime}(x) \geqslant \alpha > 0\), 用中值定理就得到
\[
\alpha \varepsilon > \sum\limits_{\nu} (g(b_\nu) - g(a_\nu)) \geqslant \alpha \sum\limits_{\nu} (b_\nu - a_\nu)
\]
即 \(m(O_\varepsilon) < \varepsilon\). 因此 \(m(E) \leqslant m(O_\varepsilon) < \varepsilon\), 令 \(\varepsilon \to 0\) 得到 \(m(E) = 0\), 现在利用这个事实来证明 \(E_0\) 不是 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^g, g)\) 上可测集. 假若不对, \(E_0\) 是关于 \(g\) 可测, 必存在 Borel 集 \(B_0\), \(B_0 \supseteq E_0\), \(g(B_0 - E_0) = 0\). 因此 \(m(B_0 - E_0) = 0\). 但 \(B_0\) 是Lebesgue可测集, 所以 \(E_0 = B_0 - (B_0 - E_0)\) 也是Lebesgue可测集. 这和假设 \(E_0\) 不是Lebesgue可测集矛盾. 所以 \(E_0\) 不可能是 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^g, g)\) 上可测集.
\end{example}

这些例子说明, 由于 \(g\) 的不同, 一个函数在 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^g, g)\) 上的可测性和可积性与 \(g\) 有极为密切的关系. 但我们有如下结果. 

\begin{theorem}\label{thm3.3.12}
Borel 集上的 Baire 函数对任何Lebesgue-Stieltjes测度空间是可测的函数. 而有界 Borel 集上有界 Baire 函数的一切Lebesgue-Stieltjes积分都存在. 
\end{theorem}

\begin{proof}
设 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^g, g)\) 是由单调增加右连续函数 \(g\) 产生的完全测度空间, 设 \(E\) 是 Borel 集, \(f\) 是 \(E\) 上的 Baire 函数, 那么 \(E(f \leqslant c) \in \mathbf{B} \subseteq \mathbf{L}^g\), 所以 \(f\) 是 \(E\) 上 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^g)\) 可测的函数. 又设 \(E\) 是有界的, \(E \subseteq [a, b]\), 那么 \(g(E) \leqslant g([a, b])\), 按例 \ref{eg11}, 所以 \(g([a, b]) = g(b) - g(a - 0) < \infty\). 这样, \(f\) 便是 (关于 \(g\)) 测度有限的可测集 \(E\) 上的有界可测函数. 根据定理 \ref{thm3.3.1}, 关于 \(g\) 的Lebesgue-Stieltjes积分存在. 证毕. 
\end{proof}

因为 \(\mathbf{B} \subseteq \mathbf{L}^g\), 所以在直线上 (或 \(n\) 维Euclid空间上) 如果有多个Lebesgue-Stieltjes测度场合, 一般都采用 Borel 可测函数 (即 Baire 函数) . 

下面是Lebesgue-Stieltjes积分的逼近定理. 

\begin{theorem}\label{thm3.3.13}
设 \(f\) 是 \([a, b]\) (可以 \(a = -\infty, b = +\infty\)) 上关于 \(g\) Lebesgue-Stieltjes可积的. 那么, 对任何 \(\varepsilon > 0\), 必定存在 \([a, b]\) 上连续函数 \(\varphi\), 使得
\[
\int_a^b |f - \varphi| \mathrm{d}g < \varepsilon
\]
我们下面只证明当 \(g\) 是Lebesgue测度的情况, 一般的 \(g\) 的情况, 给读者作为练习. 
\end{theorem}

\begin{proof}
对任何 \(\varepsilon > 0\), 由 \(f^+\) 和 \(f^-\) 的积分定义可知, 存在 \(N\), 使得
\[
\int_a^b |f - [f]_{N}| \mathrm{d}x = \int_a^b (f^+ - [f^+]_N) \mathrm{d}x + \int_a^b (f^- - [f^-]_N) \mathrm{d}x < \frac{\varepsilon}{3}
\]
取 \(\delta = \frac{\varepsilon}{3N + 1}\), 对函数 \([f]_{N}\) 用鲁津定理, 就存在 \([a, b]\) 上连续函数 \(\varphi: |\varphi| \leqslant N\), 和 \([a, b]\) 的可测子集 \(E_{\delta}\), 且 \(m(E_{\delta}) < \delta\), 当 \(x \in [a, b] - E_{\delta}\) 时 \([f]_{N}(x) = \varphi(x)\). 因此
\[
\int_a^b |[f]_{N} - \varphi| \mathrm{d}x = \int_{E_{\delta}} |[f]_{N} - \varphi| \mathrm{d}x \leqslant \frac{2\varepsilon N}{3(N + 1)} < \frac{2\varepsilon}{3}
\]
由此得到
\[
\int_a^b |f - \varphi| \mathrm{d}x \leqslant \int_a^b |f - [f]_{N}| \mathrm{d}x + \int_a^b |[f]_{N} - \varphi| \mathrm{d}x < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{2\varepsilon}{3} = \varepsilon.
\]
\end{proof}

\section{积分的变数变换}

在 Riemann积分中, 一个很有用的工具就是积分的变数变换. 现在我们也来研究一般测度空间上的``变数变换''问题. 为此先引进可测映照概念. 

\begin{definition}
设 \((X_i, \mathbf{R}_i), i = 1, 2\) 是两个可测空间, \(\varphi\) 是 \(X_1 \rightarrow X_2\) 的一个映照, 如果对每个 \(E \in \mathbf{R}_2\), \(\varphi^{-1}(E) = \{ x | x \in X_1, \varphi(x) \in E \}\) 属于 \(\mathbf{R}_1\), 那么称 \(\varphi\) 是 \((X_1, \mathbf{R}_1)\) 到 \((X_2, \mathbf{R}_2)\) 的\textbf{可测映照}, 或简称做\textbf{可测映照}, 并记 \(\varphi^{-1}(\mathbf{R}_2) = \{\varphi^{-1}(E) | E \in \mathbf{R}_2\}\). 
\end{definition}

例如, 当 \(X_2\) 是实直线 \(\mathbb E^1\), \(\mathbf{R}_2\) 是直线上 Borel 集 (即 \(\mathbf{R}_2 = \mathbf{B}\)) 时, \((X_1, \mathbf{R}_1)\) 到 \((\mathbb E^1, \mathbf{B})\) 的可测映照 \(\varphi\) 就是 \((X_1, \mathbf{R}_1)\) 上的可测函数. 这是因为 \(\varphi^{-1}((-\infty, c]) = X_1 (\varphi \leqslant c)\) 是可测集. 反过来, 也可以证明: 当 \(\varphi\) 是 \(X_1\) 上的 \((X_1, \mathbf{R}_1)\) 上可测函数时, \(\varphi\) 就是 \((X_1, \mathbf{R}_1)\) 到 \((\mathbb E^1, \mathbf{B})\) 的可测映照, 因此可测映照是可测函数概念的推广. 

下面我们考察一个较简单的情况. 

\begin{definition}
设 \((X_i, \mathbf{R}_i), i=1,2\) 是两个可测空间, \(\varphi\) 是 \(X_1\) 上到 \(X_2\) 上的双射 (即一一对应) , 而且是 \((X_1, \mathbf{R}_1)\) 到 \((X_2, \mathbf{R}_2)\) 的可测映照, 同时 \(\mathbf{R}_1 = \varphi^{-1}(\mathbf{R}_2)\), 那么我们就称 \(\varphi\) 是 \((X_1, \mathbf{R}_1)\) 到 \((X_2, \mathbf{R}_2)\) 的\textbf{可测同构映照}. 
\end{definition}

\begin{example}\label{eg13}
设 \(X_i = \mathbb E^1, \mathbf{R}_i = \mathbf{B} (i=1,2)\), \(\varphi\) 是 \(\mathbb E^1\) 上严格单调增加的函数，并且是 \(\mathbb E^1\) 上的双射 (必连续) ，例如 \(\varphi(x)=x, x^3, e^x-e^{-x}\) 等等. 显然，\(\varphi^{-1}\) 也是 \(\mathbb E^1\) 上的双射，并且是严格单调增加函数. 因此，\(\varphi, \varphi^{-1}\) 都是 Borel 可测函数，从而对任何 \(E \in \mathbf{B}\), \(\varphi^{-1}(E) \in \mathbf{B}\)，同样，\((\varphi^{-1})^{-1}(E) \in \mathbf{B}\)，即 \(\varphi\) 是 \((\mathbb E^1, \mathbf{B})\) 到 \((\mathbb E^1, \mathbf{B})\) 的可测同构. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg14}
设 \(X_1 = \mathbb E^1, \mathbf{R}_1 = \mathbf{B}; X_2 = (a,b), \mathbf{R}_2 = \mathbf{B} \cap (a,b)\). 又设 \(\varphi\) 是 \((a,b) \rightarrow (-\infty, \infty)\) 的双射，并且是单调增加的函数，例如 \(\varphi(x) = \tan \left( \frac{\pi}{2} \frac{2x-(a+b)}{b-a} \right), \log \left( \frac{x-a}{b-x} \right)\) 等等. 类似例 \ref{eg13}中的理由，\(\varphi\) 是 \(((a,b), \mathbf{B} \cap (a,b))\) 到 \((\mathbb E^1, \mathbf{B})\) 的可测同构. 
\end{example}

显然，当 \(\varphi\) 是可测同构映照时，\(\varphi^{-1}\) 也是可测同构映照.

 \(\varphi\) 是 \((X_1, \mathbf{R}_1)\) 到 \((X_2, \mathbf{R}_2)\) 的可测同构，这时，如果在 \((X_2, \mathbf{R}_2)\) 上有测度 \(\mu\)，我们可作 \(\mathbf{R}_1\) 上集函数 \(\nu\) 如下: 当 \(E \in \mathbf{R}_1\) 时，\(\nu(E) = \mu(\varphi(E))\). 容易证明 \(\nu\) 是 \((X_1, \mathbf{R}_1)\) 上的测度，就记 \(\nu(\cdot)\) 为 \(\mu(\varphi(\cdot))\). 

下面就是积分的一种变数变换定理 (更一般的变数变换定理见定理 \ref{thm3.3.15}) . 

\begin{theorem}\label{thm3.3.14}
设 \((X_i, \mathbf{R}_i), i=1,2\) 是两个可测空间，\(\varphi\) 是 \((X_1, \mathbf{R}_1)\) 到 \((X_2, \mathbf{R}_2)\) 的可测同构映照，\(\mu\) 是 \((X_2, \mathbf{R}_2)\) 上一个测度，\(E \in \mathbf{R}_2\). 那么 \(E\) 上的函数 \(f\) 关于 \(\mu\) 可积的充要条件是 \(\varphi^{-1}(E)\) 上的函数 \(f(\varphi(x_1))\) 关于测度 \(\nu(\cdot) \equiv \mu(\varphi(\cdot))\) 可积，而且当 \(f\) 关于 \(\mu\) 可积时，
\begin{equation}
	\int_E f(x_2) \mathrm{d}\mu(x_2) = \int_{\varphi^{-1}(E)} f(\varphi(x_1)) \mathrm{d}\mu(\varphi(x_1)) \label{3.3.42}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
设 \(f\) 是 \(E\) 上(关于 \((X_2, \mathbf{R}_2)\) )有界可测函数，\(\mu(E) < \infty\). 由于 \(\varphi\) 是可测映照，那么
\begin{equation}
	\{x_1 | x_1 \in \varphi^{-1}(E), f(\varphi(x_1)) \leqslant c\} = \varphi^{-1}(\{y | y \in E, f(y) \leqslant c\}) \label{3.3.43}
\end{equation}
是可测集，所以 \(\varphi^{-1}(E)\) 上的函数 \(f(\varphi(x_1))\) 是关于 \((X_1, \mathbf{R}_1)\) 可测的. 显然 \(\nu(\varphi^{-1}(E)) = \mu(\varphi(\varphi^{-1}(E))) = \mu(E) < \infty\). 因而 \(f(\varphi(x_1))\) 是关于 \(\nu\) 可积的. 在 \(f\) 的值域中任取一分点组 \(D: l_0 < l_1 < \cdots < l_n\)，那么由 \eqref{3.3.43} 得到
\[
\sum\limits_{k=1}^n \xi_k \mu(\{y | y \in E, l_{k-1} \leqslant f(y) < l_k\}) = \sum\limits_{k=1}^n \xi_k \mu(\varphi(\{x | x \in \varphi^{-1}(E), l_{k-1} \leqslant f(\varphi(x)) < l_k)\})
\]
因此函数 \(f\) 关于 \(\mu\) 以及函数 \(f(\varphi(x))\) 关于 \(\mu(\varphi(\cdot))\) 在同一分点组下和数是一样的. 再令 \(\delta(D) = \max\limits_i(l_i - l_{i-1}) \to 0\)，这样在函数 \(f\) 有界，\(\mu(E) < \infty\) 的情况下就证明了 \eqref{3.3.42}. 

设函数 \(f\) 是无界的，而且 \(f \geqslant 0\)，\(E\) 关于 \(\mu\) 为 \(\sigma\)-有限的. 取 \(E\) 的 (\(\mu\)) 测度有限单调覆盖 \(\{E_n\}\)，容易知道 \(\varphi^{-1}(E_n)\) 便是 \(\varphi^{-1}(E)\) 的关于测度 \(\nu\) 的测度有限单调覆盖. 在等式
\[
\int_{E_N} [f]_N(x_2) \mathrm{d}\mu(x_2) = \int_{\varphi^{-1}(E_N)} [f]_N(\varphi(x_1)) \mathrm{d}\mu(\varphi(x_1))
\]
中. 令 \(N \to \infty\)，根据左边极限存在而且有限，就推出右边极限也存在而且有限，同时两个极限相等，即 \eqref{3.3.42} 式成立. 

对于一般的函数 \(f\)，可以分别考察 \(f^+\)，\(f^-\) 就行了. 

由于当 \(\varphi\) 是可测同构时，\(\varphi^{-1}\) 也是可测同构. 因而由 \(f(\varphi(\cdot))\) 关于 \(\mu(\varphi(\cdot))\) 的可积性也可推出 \(f\) 关于 \(\mu\) 的可积性.
\end{proof}

应用这个定理于Lebesgue-Stieltjes测度就得到了下面的推论. 

\begin{corollary}\label{coro3.3.14.1}
设 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}^g, g)\) 是直线上的Lebesgue-Stieltjes测度空间，\(\varphi\) 是 \(\mathbb E^1\) 上到 \(\mathbb E^1\) 上的严格单调增加连续函数，\(f\) 是 Baire 函数. \(f\) 在 Borel 集 \(E\) 上关于 \(g\) 可积的充要条件是 \(f(\varphi(x))\) 在集 \(\varphi^{-1}(E)\) 上关于 \(g(\varphi(x))\) 可积. 当 \(f\) 可积时，下式成立
\begin{equation}
	\int_E f(x) \mathrm{d}g(x) = \int_{\varphi^{-1}(E)} f(\varphi(x)) \mathrm{d}g(\varphi(x)) \label{3.3.44}
\end{equation}
\end{corollary}

\begin{proof}
显然 \(\varphi\) 是 \(\mathbb E^1\) 上到 \(\mathbb E^1\) 上一一对应，而且 \(\varphi^{-1}((a, b]) = (\varphi^{-1}(a), \varphi^{-1}(b)]\). 所以 \(\varphi^{-1}(\mathbf{R}_0) = \mathbf{R}_0\). 令 \(M = \{ E | E \in \mathbf{S}(\mathbf{R}_0), \varphi^{-1}(E) \in \mathbf{S}(\mathbf{R}_0)\}\) 容易证明 \(M\) 是一个 \(\sigma\)-环，并且 \(\mathbf{S}(\mathbf{R}_0) \supseteq M \supseteq \mathbf{R}_0\)，但 \(\mathbf{S}(\mathbf{R}_0)\) 是包含 \(\mathbf{R}_0\) 最小 \(\sigma\)-环，所以 \(M = \mathbf{S}(\mathbf{R}_0) = \mathbf{B}\)，即 \(\varphi^{-1}\mathbf{B} \subseteq \mathbf{B}\). 用 \(\varphi\) 换 \(\varphi^{-1}\)，便得到 \(\mathbf{B} \subseteq \varphi^{-1}\mathbf{B}\). 所以 \(\varphi\) 是可测同构映照. 运用变数变换定理 \ref{thm3.3.14} 就得到推论 \ref{coro3.3.14.1} 的结论. 
\end{proof}

\begin{corollary}\label{coro3.3.14.2}
设 \(f\) 是 \((-\infty, \infty)\) 上Lebesgue可测函数，那么对任何 \(t\)，
\begin{equation}
	\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} f(x + t) \mathrm{d}x \label{3.3.45}
\end{equation}
\end{corollary}

\begin{proof}
对任何给定的 \(t\)，作 \(\mathbb E^1 \rightarrow \mathbb E^1\) 的映照 \(\tau_t: x \mapsto t + x\)，将推论 \ref{coro3.3.14.1} 应用于Lebesgue测度，并且 \(E = \mathbb E^1\). 就得到
\begin{equation}
	\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} f(x + t) d(x + t) \label{3.3.46}
\end{equation}
但是Lebesgue测度是平移不变的. 对任何Lebesgue可测集 \(E, m(\tau_t(E)) = m(E)\)，所以对任何可积函数 \(h\)，
\begin{equation}
	\int_{-\infty}^{\infty} h(x) dm(\tau_t(x)) = \int_{-\infty}^{\infty} h(x) \mathrm{d}x \label{3.3.47}
\end{equation}
在 \eqref{3.3.47} 中取 \(h(x) = f(x + t)\). 再将 \eqref{3.3.47} 代入 \eqref{3.3.46} 右边就得到 \eqref{3.3.45}.
\end{proof}

显然, 定理 \ref{thm3.3.14} 可以推广. 从定理 \ref{thm3.3.14} 证明过程可见, 积分要能进行``变数变换'', 主要依靠变换\(\varphi\)有某种可测性, 其次变换前后的两个(分别各自可测空间上的)可测集的测度相等. 在``变数变换''中下面概念是常用的. 

\begin{definition}
设 \((X_i, \mathbf{R}_i, \mu_i) (i=1,2)\) 是两个测度空间, \(\varphi\) 是 \(X_1 \rightarrow X_2\) 的映照. 如果对任何 \(E_i \in \mathbf{R}_i (i=1,2), \varphi(E_1) \in \mathbf{R}_2, \varphi^{-1}(E_2) \in \mathbf{R}_1\), 并且 \(\mu_2(\varphi(E_1)) = \mu_1(E_1), \mu_1(\varphi^{-1}(E_2)) = \mu_2(E_2)\). 那么, 称 \(\varphi\) 是 \((X_1, \mathbf{R}_1, \mu_1)\) 到 \((X_2, \mathbf{R}_2, \mu_2)\) 的保持测度不变的变换, 简称为\textbf{保测变换}. 
\end{definition}

仿定理 \ref{thm3.3.14} 证明过程, 易知有下面的定理. 

\begin{theorem}\label{thm3.3.15}
设 \((X_i, \mathbf{R}_i, \mu_i)\) 是测度空间, \(\varphi\) 是 \((X_1, \mathbf{R}_1, \mu_1)\) 到 \((X_2, \mathbf{R}_2, \mu_2)\) 的保测变换, \(E \subseteq X_2\). 那么 \(E\) 上函数 \(f\) 关于 \(\mu_2\) 可积的充要条件是 \(f \circ \varphi\) 是 \(\varphi^{-1}(E)\) 上关于 \(\mu_1\) 可积的. 当可积时,
\[
\int_E f(x_2) \mathrm{d}\mu_2(x_2) = \int_{\varphi^{-1}(E)} f(\varphi(x_1)) \mathrm{d}\mu_1(x_1)
\]
\end{theorem}


\end{document}